12.8 卡方检验

12.8 卡方检验解析与底层逻辑

一、核心概念与适用条件

卡方检验的本质

卡方检验（Chi-square test）是一种基于卡方分布的非参数检验方法，用于判断观察频数与理论频数是否存在显著差异，或分类变量间是否存在关联性。核心逻辑是通过比较实际观测值与理论期望值的偏离程度（卡方值），判断其是否超出随机波动范围。

适用条件：

大样本（所有单元格的理论频数一般要求≥5\geq 5≥5）独立性：样本数据独立且无重叠分类变量：适用于名义或有序分类数据（如性别与疾病是否相关）

二、数学原理与公式推导

卡方统计量公式：

χ2=∑(Oij−Eij)2Eij

\chi^2 = \sum \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}

χ2=∑Eij​(Oij​−Eij​)2​

其中：

OijO_{ij}Oij​：第iii行第jjj列的实际观测频数EijE_{ij}Eij​：第iii行第jjj列的理论期望频数（Eij=行合计×列合计总样本量E_{ij} = \frac{\text{行合计} \times \text{列合计}}{\text{总样本量}}Eij​=总样本量行合计×列合计​）

自由度计算：

自由度ν=(r−1)(c−1)\nu = (r-1)(c-1)ν=(r−1)(c−1)，其中rrr为行数，ccc为列数。例如2×2列联表（四格表）自由度为1。

临界值与拒绝域：

根据显著性水平α\alphaα和自由度查卡方分布表（如α=0.05\alpha=0.05α=0.05，ν=1\nu=1ν=1时临界值为3.841）若χ2>χα,ν2\chi^2 > \chi^2_{\alpha, \nu}χ2>χα,ν2​，则拒绝原假设H0H_0H0​

三、底层逻辑与检验步骤

小概率反证法：

假设原假设H0H_0H0​成立（如“种族与录取结果无关”），计算理论频数。若实际频数与理论频数的差异过大（卡方值高），则表明数据与H0H_0H0​矛盾。显著性水平α\alphaα：人为设定错误拒绝H0H_0H0​的风险阈值（常用α=0.05\alpha=0.05α=0.05）。

两类检验类型：

拟合优度检验：验证单个变量的分布是否符合预期（如骰子是否公平）独立性检验：判断两个分类变量是否关联（如药物疗效与性别是否相关）

理论频数修正：

当单元格理论频数<5<5<5时，需采用Yates连续性校正或改用Fisher精确检验，避免高估显著性。

四、典型应用场景与实例

医学研究

案例：抗生素耐药性是否与年龄组相关（四格表检验）步骤：

建立H0H_0H0​：耐药性与年龄无关计算理论频数（如395人×44%耐药率=174人）算得χ2=23.12\chi^2=23.12χ2=23.12，ν=1\nu=1ν=1，查表得临界值3.841χ2>3.841\chi^2 > 3.841χ2>3.841，拒绝H0H_0H0​，支持耐药性与年龄相关

社会学分析

案例：种族是否影响求职录取结果（2×2列联表）数据：黑人录取率6%，白人录取率9%，算得χ2\chi^2χ2判断差异显著性

五、常见误区与改进策略

误用场景：

小样本未修正：理论频数<5<5<5时强行使用卡方检验（应改用Fisher精确检验）连续变量误用：对连续数据强行分组检验（应改用t检验或相关分析）

改进方法：

精确检验：样本量小时采用Fisher精确检验合并类别：对稀疏单元格合并相邻类别提高理论频数

大白话解释

卡方检验像“数据侦探”：

查案流程：

假设种族与录取无关（H0H_0H0​），实际数据黑人录取6%、白人9%。计算“如果无歧视，黑人白人录取率应相同”的理论值，比较实际差异是否像“侦探发现线索超出巧合范围”。

两类错误类比：

冤案（α\alphaα错误）：误判无歧视为有歧视（冤枉企业）漏网（β\betaβ错误）：真实歧视未被发现（放走问题企业）

核心逻辑：

卡方值相当于“异常指数”——实际与理论的差异标准化为“标准差倍数”。若指数超过阈值（如3.841），则触发警报。但需注意“查案工具”的适用范围：数据要独立且样本足够，否则可能“误判”或“漏查”！